静电学
编辑
在静电学里，电势乃是相对的，不是绝对的。假设在三维空间的电势为
ϕ
=
f
(
r
)
{\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}
，现将电势加上一个常数
c
{\displaystyle c}
，改为
ϕ
′
=
f
(
r
)
+
c
{\displaystyle \phi '=f(\mathbf {r} )+c}
，则电场不会改变，这性质称为规范不变性。[8]由于这性质，必需先设定在某参考位置的电势，在其它位置的电势才具有真实物理意义。因此，每一条方程只会涉及到相对电势，不会涉及到绝对电势。
电荷守恒与规范不变性密切相关。这可以用一个思想实验来论述。假设某种过程可以破坏电荷守恒（假若无法永久地破坏，至少可以暂时地破坏）。这过程会在空间里电势为
V
1
{\displaystyle V_{1}}
的某位置
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
生成电荷
q
{\displaystyle q}
，然后将这电荷迁移至在空间里电势为
V
2
{\displaystyle V_{2}}
的位置
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
，最后将这电荷湮灭。注意到这过程并没有破坏全域电荷守恒定律，只破坏了局域电荷守恒定律。
现在规定，在任意位置，生成电荷需要输入能量
W
{\displaystyle W}
，湮灭电荷会释出能量
W
{\displaystyle W}
。由于生成电荷或湮灭电荷的位置是任意位置，
W
{\displaystyle W}
不会与相对电势有关。
W
{\displaystyle W}
也不会与绝对电势有关。那么，整个过程会使得系统获得能量
W
+
q
V
1
−
q
V
2
−
W
{\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}
。但是，这样做会违反能量守恒。为了遵守能量守恒，必需要求局域电荷守恒。所以，由于规范不变性，电荷守恒定律成立。[9]
电磁学
编辑
在电磁学里，对电势与磁矢势做规范变换，
ϕ
′
=
ϕ
−
∂
Λ
∂
t
{\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}
、
A
′
=
A
+
∇
Λ
{\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \Lambda }
；
其中，规范函数
Λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}
是任意标量场。
新的电场
E
′
{\displaystyle \mathbf {E} '}
、磁场
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '}
分别为
E
′
=
−
∇
ϕ
′
−
∂
A
′
∂
t
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
=
E
{\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \phi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\mathbf {E} }
、
B
′
=
∇
×
A
′
=
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \mathbf {B} '=\nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
，
分别与旧的电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
、磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
相同。这性质称为规范不变性。由于这性质，在规范变换下，麦克斯韦方程组的形式不变。[8]
诺特定理
编辑
根据诺特定理，电荷守恒可以理解为由于对称性而导致的后果。诺特定理表明，每一种守恒定律，必定有其伴随的物理对称性。伴随着电荷守恒的对称性是电磁场的规范不变性。[10]
采用高斯单位制，张量标记，爱因斯坦求和约定，思考电磁场的拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
，[8]
L
=
−
1
16
π
F
α
β
F
α
β
−
1
c
J
α
A
α
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
A
α
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-\ {\frac {1}{16\pi }}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\\end{aligned}}}
；
其中，
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是电磁张量，
c
{\displaystyle c}
是光速，
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
是四维电流密度，
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
是电磁四维势。
现在，做一个微小变换
A
′
α
=
A
α
+
∂
α
Λ
{\displaystyle A'^{\alpha }=A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda }
；
其中，
Λ
(
x
α
)
{\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}
是规范函数。
新的拉格朗日密度
L
′
{\displaystyle {\mathcal {L}}'}
为
L
′
=
−
1
16
π
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
[
∂
α
(
A
β
+
∂
β
Λ
)
−
∂
β
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
]
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
1
c
J
α
(
A
α
+
∂
α
Λ
)
=
L
−
1
c
J
α
∂
α
Λ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=-\ {\frac {1}{16\pi }}[\partial _{\alpha }(A_{\beta }+\partial _{\beta }\Lambda )-\partial _{\beta }(A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda )]\ [\partial ^{\alpha }(A^{\beta }+\partial ^{\beta }\Lambda )-\partial ^{\beta }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )]-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&={\mathcal {L}}-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \\\end{aligned}}}
。
在这种规范变换下，拉格朗日密度不是不变量，但是作用量
I
=
∫
V
L
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{4}x}
是不变量：[11]
I
′
−
I
=
−
1
c
∫
V
J
α
∂
α
Λ
d
4
x
=
−
1
c
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
+
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \mathrm {d} ^{4}x=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x+\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
；
其中，
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是四维积分体积。
应用散度定理，四维体积积分
∫
V
∂
α
(
J
α
Λ
)
d
4
x
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x}
可以变为一个三维曲面积分。将
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
增大，使得表面不存在任何四维电流
J
α
{\displaystyle J_{\alpha }}
，则这项目等于零。那么，
I
′
−
I
=
1
c
∫
V
Λ
∂
α
J
α
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}={\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}
。
注意到
Λ
{\displaystyle \Lambda }
是任意函数，所以，假若作用量
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
是规范不变量，则必定导致
∂
α
J
α
=
0
{\displaystyle \partial ^{\alpha }J_{\alpha }=0}
。
规范场论
编辑
主条目：规范场论
采用高斯单位制，自旋1/2粒子的旋量场的狄拉克拉格朗日密度为[12]
L
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }
；
其中，
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是约化普朗克常数，
c
{\displaystyle c}
是光速，
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
是狄拉克矩阵（Dirac matrix），
ψ
{\displaystyle \psi }
是四维旋量，
ψ
¯
{\displaystyle {\overline {\psi }}}
是
ψ
{\displaystyle \psi }
的狄拉克伴随（Dirac adjoint），
m
{\displaystyle m}
是粒子质量。
对于全域规范变换，
ψ
′
=
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \psi '=\psi e^{i\theta }}
；
其中，
θ
{\displaystyle \theta }
是常数相移。
在全局规范变换下，拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是不变量：
L
′
=
i
ℏ
c
ψ
′
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
′
−
m
c
2
ψ
′
¯
ψ
′
=
i
ℏ
c
ψ
¯
e
−
i
θ
γ
μ
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
−
m
c
2
ψ
¯
e
−
i
θ
ψ
e
i
θ
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
=
L
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=i\hbar c{\overline {\psi '}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi '-mc^{2}{\overline {\psi '}}\psi '\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })-mc^{2}{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\psi e^{i\theta }\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi \\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}
。
可是，对于局域规范变换，
θ
=
θ
(
x
μ
)
{\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}
不是常数。在局域规范变换下，由于
∂
μ
(
ψ
e
i
θ
)
=
(
∂
μ
ψ
)
e
i
θ
+
i
(
∂
μ
θ
)
ψ
e
i
θ
{\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}
，拉格朗日密度
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
不是不变量：
L
′
=
L
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
。
因此，必需添加额外项目，才能使
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
成为不变量。猜想新拉格朗日密度的形式为
L
1
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
；
其中，
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是新添加的四维矢量场。
假设，对于局域规范变换，
A
μ
′
=
A
μ
+
∂
μ
Λ
{\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }
。那么，在局域规范变换下，
L
1
′
=
L
1
−
ℏ
c
(
∂
μ
θ
)
ψ
¯
γ
μ
ψ
+
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
∂
μ
Λ
{\displaystyle {\mathcal {L}}'_{1}={\mathcal {L}}_{1}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi +q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \partial _{\mu }\Lambda }
。
设定
Λ
=
−
ℏ
c
θ
/
q
{\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}
，则拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
成为规范不变量。但是四维矢量场
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的物理意义仍旧不清楚。
思考自旋为1、质量为
m
{\displaystyle m}
的粒子的四维矢量场，其普罗卡拉格朗日密度（Proca Lagrangian）为
L
P
=
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
+
m
2
c
2
8
π
ℏ
2
A
ν
A
ν
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }}
。
在局域规范变换下，这方程右手边第一个项目是不变量，但第二个项目不是不变量。假设粒子不具质量
m
=
0
{\displaystyle m=0}
，则可除去第二个项目。将这粒子不具质量的普罗卡拉格朗日密度与拉格朗日密度
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}
综合在一起，所得到的拉格朗日密度
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
是规范不变量：
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
(
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
)
−
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}
。
假设
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
是电磁四维势、四维电流密度
J
μ
{\displaystyle J_{\mu }}
是
J
μ
=
c
q
ψ
¯
γ
μ
ψ
{\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }
、电磁张量
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
是
F
α
β
=
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}
，那么，
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
表示为
L
2
=
i
ℏ
c
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
−
m
c
2
ψ
¯
ψ
−
1
16
π
(
F
α
β
F
α
β
)
−
1
c
J
μ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta })-{\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }}
。
这方程右手边前面两个项目是描述电子或正子的狄拉克场的拉格朗日密度，后面两个项目则是以光子为媒介的电磁场的拉格朗日密度。对于
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
的拉格朗日方程为麦克斯韦方程组：
∂
μ
F
μ
ν
−
4
π
c
J
μ
=
0
{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=0}
。
规范不变性有很多可被检验的后果。例如，局域规范不变性要求光子不具有质量。因此，假若做实验能够精确地证实光子不具有质量，这也会成为电荷守恒的强证据。[13]
可是，甚至当物理系统具有完全的规范不变性时，假若电荷从正常的三维空间漏入隐藏的额外维度，则仍旧会有可能发生电荷不守恒现象。[14][15]